總體離散程度的估計教學設計

課題

9.2.4總體離散程度的估計

單元

第九單元

學科

數(shù)學

年級

高一

教材分析

本節(jié)內(nèi)容是在抽樣的基礎上，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對總體進行估計，本節(jié)主要估計總體的離散程度，同時，對比得出更好的估計離散程度的方法。

教學目標與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：利用樣本的離散程度估計總體的離散程度；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

3.數(shù)學建模：掌握方差和標準差，利用方差和標準差估計總體的離散程度。

4.直觀想象：通過樣本標準差等數(shù)據(jù)直觀估計總體的離散程度；

5.數(shù)學運算:能夠正確計算樣本的標準差或方差；

6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導過程—得出結論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密性。

重點

方差與標準差，并利用方差與標準差估計總體的離散趨勢

難點

方差與標準差

教學過程

導入新課

問題導入：

問題一：有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教練，你如何對兩位運動員的設計情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何做出選擇？

通過上述數(shù)據(jù)計算得出：甲、乙兩名運動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7。

從這三個數(shù)據(jù)來看，兩名運動員沒有差別。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖，如下：

由上圖發(fā)現(xiàn)：甲的成績比較分散，乙的成績相對集中。

即甲的成績波動幅度較大，而乙的成績比較穩(wěn)定。

可見，他們的射擊成績是存在差異的。

問題二：上述問題中，甲、乙的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，但二者的射擊成績存在差異，那么，如何度量這種差異呢？

我們可以利用極差進行度量。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)計算得：甲的極差=10-4=6

乙的極差=9-5=4

極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度。

由極差發(fā)現(xiàn)甲的成績波動范圍比乙的大。

但由于極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息，所含的信息量很少。也就是說，極差度量出的差異誤差較大。

問題三：你還能想出其他刻畫數(shù)據(jù)離散程度的辦法嗎？

我們知道，如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠；

相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠。

因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度。

學生利用問題情景，引出本節(jié)新課內(nèi)容——方差與標準差。

學生觀察頻率分布直方圖，判斷兩名運動員的成績的離散情況。

設置問題情境，回顧上節(jié)課知識點，同時激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力，并引出本節(jié)新課。

培養(yǎng)學生學會數(shù)形結合的方法和能力。

講授新課

知識探究（一）：方差與標準差

思考一：如何定義“平均距離”？標準差：考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小最常用的統(tǒng)計量，是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。

標準差的表達式

.方差：標準差的平方

方差的表達式

思考二：標準差的范圍是什么？標準差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點？

s=0表示這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)到平均數(shù)的距離都是0，這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)是相等的。

思考三：標準差和方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的？

標準差和方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度。

標準差（或方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；

標準差（或方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定。

顯然，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的；但在實際問題中，一般多采用標準差。

在實際問題中，總體平均數(shù)和總體標準差都是未知的，就像用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)一樣，通常也用樣本標準差估計總體標準差。

在隨機抽樣中，樣本標準差依賴于樣本的選取，具有隨機性。

接下來我們再來探究問題一：有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教練，你如何對兩位運動員的設計情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何做出選擇？

我們可以根據(jù)標準差來判斷兩名運動員的成績的離散程度，計算可得s甲=2，s乙≈1.095.

即s甲>s乙，由此可知，甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小。由此可以估計，乙比甲的成績穩(wěn)定。

因此，如果要從這兩名選手中選擇一名參賽，要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置。

如果兩人都排在前面，就選成績穩(wěn)定的乙選手，否則選甲。

例1、在對樹人中學高一年級學生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？樣本標準差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的幅度大小，平均數(shù)和標準差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息。

思考四：你能根據(jù)下圖計算出樣本平均數(shù)和樣本標準差嗎？

例2、甲乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為24mm的一種零件。為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進行評比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽出5件，測得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：mm )：

甲：22，25，23，23，27，乙：25，24，22，25，24。從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高？

解：即 甲、乙生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的平均數(shù)相等，但乙的穩(wěn)定程度高，

所以，乙生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比甲的高一些。

課堂鞏固

1、某校舉行2014年元旦匯演，七位評委為某班的小品打出的分數(shù)為：79，84，84，87，84，86，93. 去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為__85___、___1.6__。

2、拋硬幣20次，正面12次，反面8次．如果拋到正面得3分，拋到反面得1分，則平均得分是__2.2__，得分的方差是__0.96_．

3、甲、乙兩人數(shù)學成績(單位：分)分別為：

甲：75 78 81 82 87 89 92 93 94 95 102，乙：81 84 86 88 93 98 98 99 103 105 110

（1）分別求出這兩名同學的數(shù)學成績的平均數(shù)及標準差；

（2）比較這兩名同學的成績，談談你的看法。

解：（1）（2）

乙的數(shù)學平均分比的甲高好多，但穩(wěn)定性稍差一點知識總結

平均數(shù)、方差性質(zhì)

課堂鞏固

知識探究（二）：統(tǒng)計分析報告

思考五：近年來，我國肥胖人數(shù)的規(guī)模急速增長，肥胖人群有很大的心血管安全隱患。

目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BMI）來衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計算公式為

BMI=體重（單位：kg）/身高2（單位：m2）。中國成人的BMI數(shù)值標準為BMI<18.5為偏瘦；18.5≤BMI<23.9未正常；24≤BMI<27.9為偏胖；BMI≥28為肥胖。

某公司想要了解公司員工的身體肥胖情況，你認為有哪些工作需要完成？

1、從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，對男、女員工分別采用分層抽樣抽取樣本，并計算得到BMI值；

2、將上述樣本數(shù)據(jù)用頻率分布直方圖進行統(tǒng)計；

3、根據(jù)統(tǒng)計圖和統(tǒng)計量判斷樣本的分布以及差異，并對男、女員工在肥胖狀況上的差異進行比較；

4、根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)來估計該公司員工胖瘦程度的整體情況；

5、根據(jù)總體的估計對該公司員工提出控制體重的建議。

即統(tǒng)計案例分析報告包括以下幾個過程：

思考六：統(tǒng)計分析報告主要由哪幾部分組成？

1、標題；

2、前言

簡單交代調(diào)查的目的、方法、范圍等背景情況，使讀者了解調(diào)查的基本情況；

3、主體

展示數(shù)據(jù)分析的全過程：

首先要明確所關心的問題是什么，說明數(shù)據(jù)蘊含的信息；

根據(jù)數(shù)據(jù)分析的需要，說明如何選擇合適的圖表描述和表達數(shù)據(jù)；從樣本數(shù)據(jù)中提取能刻畫其特征的量，如均值、方差等，用于比較男、女員工在肥胖狀況上的差異；

通過樣本估計總體的統(tǒng)計規(guī)律，分析公司員工胖瘦程度的整體情況。

4、結尾

對主體部分的內(nèi)容進行概括，結合控制體重的一般方法，提出控制公司員工體重的建議。

生根據(jù)上述問題，探究“平均距離”。

根據(jù)上述推斷得出標準差和方差的定義以及計算公式。

考慮標準差為0 的特殊情況。

學生分組合作，回到問題一，探究得出方差與標準差對總體數(shù)據(jù)離散程度的影響。

通過例題加強理解方差與標準差的意義。

利用思考題，讓學生對標準差和方差進一步進行探索。

通過例題加強理解方差與標準差的意義。

學生和教師共同探究完成3個練習題。

探索平均數(shù)、方差的性質(zhì)。

總結、鞏固平均數(shù)、方差的性質(zhì)。

通過抽樣、統(tǒng)計等過程，讓學生思考統(tǒng)計分析報告主要有哪幾個方面。

利用問題情境探究得出“平均距離”,培養(yǎng)學生探索的精神.

給學生養(yǎng)成先推倒后總結的學習習慣。

數(shù)學知識是由特殊到一般或由一般到特殊的推導過程，引導學生養(yǎng)成全面推倒知識的習慣。

通過分組合作交流，培養(yǎng)學生合作的精神和探索的能力。

利用例題加深本節(jié)課的內(nèi)容。

利用思考題讓學生探究本節(jié)課的問題，讓學生形成知識體系，培養(yǎng)學生整體思考的能力。

利用例題加深本節(jié)課的內(nèi)容。

通過這3個題，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數(shù)學的探索精神。

培養(yǎng)學生探索知識的能力。

培養(yǎng)學生總結知識的能力。

理論聯(lián)系實際，無論是抽樣還是統(tǒng)計，都是來源于生活的實際問題，讓學生體會數(shù)學來源于生活。