離散型隨機變量的均值教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.理解離散型隨機變量的均值的意義和性質．

B．會根據離散型隨機變量的分布列求出均值．

C．會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關的實際問題．

1.數學抽象：離散型隨機變量的均值的概念

2.邏輯推理：離散型隨機變量的均值的性質

3.數學運算：求離散型隨機變量的均值

4.數學建模：模型化思想

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、問題導學

對于離散型隨機變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機變量相關事件的概率。但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數字特征。例如，要了解某班同學在一次數學測驗中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學數學成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數學成績的方差。

我們還常常希望直接通過數字來反映隨機變量的某個方面的特征，最常用的有期望與方差.

二、探究新知

探究1.甲乙兩名射箭運動員射中目標靶的環(huán)數的分布列如下表所示：如何比較他們射箭水平的高低呢？

類似兩組數據的比較,首先比較擊中的平均環(huán)數,如果平均環(huán)數相等，再看穩(wěn)定性.假設甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為：甲n次射箭射中的平均環(huán)數

當n足夠大時，頻率穩(wěn)定于概率，所以x穩(wěn)定于70.1+80.2+90.3+100.4=9.

即甲射中平均環(huán)數的穩(wěn)定值(理論平均值)為9,

這個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平.

同理，乙射中環(huán)數的平均值為70.15+80.25+90.4+100.2=8.65.

從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.

一、離散型隨機變量取值的平均值.

一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為：則稱

為隨機變量X的均值(mean)或數學期望(mathematical expectation),數學期望簡稱期望.均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數,它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反映了隨機變量取值的平均水平.

三、典例解析

例1. 在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運動員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值是多少?

分析:罰球有命中和不中兩種可能結果,命中時X=1,不中時X=0,因此隨機變量X服從兩點分布,X的均值反映了該運動員罰球1次的平均得分水平.

解：因為P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，

所以E(X)=1P(X=1)+0P(X=0)=10.8+00.2 =0.8

即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8.

一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，

那么：

例2.拋擲一枚質地均勻的骰子,設出現的點數為X,求X的均值.

分析:先求出X的分布列,再根據定義計算X的均值。

解：X的分布列為??(X=k)=,k=1,2,3,4,5,6

因此,E(X)= (1+2+3+4+5+6)=3.5.

求離散型隨機變量X的均值的步驟：

(1)理解X的實際意義，寫出X全部可能取值；

(2)求出X取每個值時的概率；

(3)寫出X的分布列(有時也可省略)；

(4)利用定義公式求出均值

跟蹤訓練1.某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，即可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．如果李明決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內李明參加駕照考試次數X的分布列和X的均值．

[解] X的取值分別為1,2,3,4.

X＝1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，

故P(X＝1)＝0.6.

X＝2，表明李明第一次考試未通過，

第二次通過了，故P(X＝2)＝(1－0.6)0.7＝0.28.

X＝3，表明李明第一、二次考試未通過，第三次通過了，

故P(X＝3)＝(1－0.6)(1－0.7)0.8＝0.096.

X＝4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，

故P(X＝4)＝(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)＝0.024.

所以李明一年內參加考試次數X的分布列為

所以X的均值為E(X)＝10.6＋20.28＋30.096＋40.024＝1.544.

探究2. 已知X是一個隨機變量，且分布列如下表所示.

設都是實數且，則Y + 也是一個隨機變量，那么，這兩個隨機變量的均值之間有什么聯系呢？

離散型隨機變量的均值的性質

若X,Y是兩個隨機變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機變量X的線性函數的均值等于這個隨機變量的均值E(X)的同一線性函數.特別地:

(1)當a=0時,E(b)=b,即常數的均值就是這個常數本身.

(2)當a=1時,E(X+b)=E(X)+b,即隨機變量X與常數之和的均值等于X的均值與這個常數的和.

(3)當b=0時,E(aX)=aE(X),即常數與隨機變量乘積的均值等于這個常數與隨機變量的均值的乘積.

例3:猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應的公益基金如下表所示：

規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.

(??=6000)=(??????)=0.80.60.4=0.192.

X的分布列如下表所示：

??的均值為??(??)=00.2+10000.32+30000.288+60000.192=2336.

思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認為哪個順序獲得的公益基金均值最大？

解：如果按ACB的順序來猜歌,分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事件，,

(??=6000)=(??CB)=0.80.40.6=0.192.

X的分布列如下表所示：

按由易到難的順序來猜歌，獲得的公益基金的均值最大

例4.根據氣象預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元。為保護設備，有以下三種方案：

方案1：運走設備，搬運費為3800元。

方案2：建保護圍墻，建設費為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。

方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。

工地的領導該如何決策呢?

分析:決策目標為總損失(投入費用與設備損失之和)越小越好,根據題意,各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示：

方案2和方案3的總損失都是隨機變量,可以采用期望總損失最小的方案。

解:設方案1、方案2、方案3的總損失分別為X₁,X₂,X₃.

采用方案1,無論有無洪水,都損失3800元.因此,P(X₁=3800)=1.

采用方案2,遇到大洪水時,總損失為2000+6000=62000元;沒有大洪水時,總損失為2000元,因此,P(X₂=62 000)=0.01,P(X₂=2000)=0.99.

采用方案3,P(X₃=60 000)=0.01,P(X₃=10000)=0.25,P(X₃=0)=0.74.

于是,E(X₁)=3800,

E(X₂)=62 0000.01+2 0000.99=2 600,

E(X₃)=60 0000.01+10 0000.25+00.74=3 100.

因此,從期望損失最小的角度,應采取方案2.

值得注意的是,上述結論是通過比較“期望總損失”而得出的,一般地,我們可以這樣來理解“期望總損失”:如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生,那么采用方案2將會使總損失減到最小,不過,因為洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的,所以對于個別的一次決策,采用方案2也不一定是最好的.

通過知識回顧，提出問題.

通過具體的問題情境，引發(fā)學生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入離散型隨機變量分布列均值的概念，發(fā)展學生邏輯推理、數學運算、數學抽象和數學建模的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，提升對概念精細化的理解。引出兩點分布均值的概念。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，深化概率的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1．若隨機變量X的分布列為

則E(X)＝( )

A．0 B．－1 C．－ D．－

C [E(X)＝(－1)＋0＋1＝－.]

2.某射手對靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現有4顆子彈,命中后的剩余子彈數目X的數學期望為( )

A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4

解析:X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6;

P(X=2)=0.40.6=0.24; P(X=1)=0.4²0.6=0.096;

P(X=0)=0.4³=0.064.

所以E(X)=30.6+20.24+10.096+00.064=2.376.

答案:C

3.已知ξ的分布列如下表,若η=3ξ+2,則E(η)= .

解析:因為+t+=1,所以t=

E(ξ)=1+2+3

E(η)=E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=3+2=

答案:

4.設l為平面上過點(0,1)的直線,l的斜率等可能地取-2,-,-,0,,2用X表示坐標原點到l的距離,則隨機變量X的數學期望E(X)= .

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養(yǎng)。