分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（1）教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.通過(guò)實(shí)例能歸納總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理;

B.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問(wèn)題的特征,選擇“分類”或“分步”.

C.能利用兩個(gè)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

1.數(shù)學(xué)抽象：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

2.邏輯推理：準(zhǔn)確運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題

4.數(shù)學(xué)建模：將計(jì)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分類和分步計(jì)數(shù)問(wèn)題

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

計(jì)數(shù)問(wèn)題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過(guò)列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法，但當(dāng)問(wèn)題中的數(shù)量很大時(shí)，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.

問(wèn)題1. 用一個(gè)大寫(xiě)的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？

因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出26+10=36種不同的號(hào)碼.

問(wèn)題2.你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎？

上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：

（1）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問(wèn)題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類；

（2）分別計(jì)算各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)；

（3）各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

一般地，有如下分類加法計(jì)數(shù)原理：

完成一件事，有兩類辦法. 在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類方法中有n種不同的方法，則完成這件事共有:N= m+n種不同的方法.

二、典例解析

例1.在填寫(xiě)高考志愿時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如表，

如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇？

分析:要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)” .因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒(méi)有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，所以符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件.

解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇

方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)N=5+4=9.

利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路

(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類;

(2)計(jì)數(shù):求出每一類中的方法數(shù);

(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.

問(wèn)題3. 如果完成一件事有三類不同方案，在第一類方案中有 m₁種不同的方法，在第二類方案中有m₂種不同的方法，在第三類方案中有m₃種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有N類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)該如何計(jì)數(shù)呢？

分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有m₁種不同的方法,第二類辦法中有m₂種不同的方法……第n類辦法中有m_n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m₁+m₂+…+m_n種不同的方法.

跟蹤訓(xùn)練1.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是( )

A．18 B．36 C．72 D．48

解析：方法一 按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè)).

方法二 按個(gè)位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個(gè)).

方法三 考慮兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對(duì)應(yīng)思想解決．所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中，個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，…，99，共9個(gè)；有10，20，30，…，90共9個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有90－18＝72(個(gè)).在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字(a)小于十位數(shù)字(b)的兩位數(shù)都有一個(gè)十位數(shù)字(a)小于個(gè)位數(shù)字(b)的兩位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是722＝36.故選B.

答案：B

問(wèn)題4. 用前6個(gè)大寫(xiě)的英文字母和1~9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A₁， A₁，…A₉，B₁，B₂，…的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？

解：方法一：解決計(jì)數(shù)問(wèn)題可以用“樹(shù)狀圖”列舉出來(lái)

方法二：由于6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與6個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有69=54種不同的號(hào)碼.

問(wèn)題5.你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎？

上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：

（1）由問(wèn)題條件中的“和”，可確定完成編號(hào)要分兩步；

（2）分別計(jì)算各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)；

（3）將各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)相乘，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級(jí)參

加比賽，共有多少種不同的選法？

分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步, 選男生；第二步,選女生.

解：第一步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇；

第二步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有 3024=720種不同方法.

問(wèn)題6. 如果完成一件事有三個(gè)步驟, 做第1步有m₁種不同的方法，做第2步有m₂種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?

N＝m₁m₂m₃

如果完成一件事需要有n個(gè)步驟,做每一步中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?

如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m₁種不同的方法，做第2步有m₂種不同的方法，…,做第n步有m_n種不同的方法,那么完成這件事的方法總數(shù)如何計(jì)算？

分步乘法計(jì)數(shù)原理一般結(jié)論：

N＝m₁m₂…m_n

例3.書(shū)架上第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū),第 2層放有3本不同的文藝書(shū),第3層放有2本不同的體育雜志.

(1)從書(shū)架上任取1本書(shū),有多少種不同的取法?

(2)從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū),有多少種不同取法?

(3)從書(shū)架上取2本不同學(xué)科的書(shū),有多少種不同的取法?

解：（1）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得：N＝4＋3+2＝9；

（2）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：N＝4 32＝24；

（3）需先分類再分步.

第一類：從一、二層各取一本，有43=12種方法；

第二類：從一、三層各取一本,有42=8種方法；

第三類：從二、三層各取一本,有32=6種方法；

根據(jù)兩個(gè)基本原理，不同的取法總數(shù)是

N=43+42+32=26

答: 從書(shū)架上取2本不同種的書(shū),有26種不同的取法.

應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路

跟蹤訓(xùn)練2. 有6名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法？(不一定6名同學(xué)都參加)

(1)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；

(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)；

(3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限．

解：(1)每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法．

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為3⁶＝729.

(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，

因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法．

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為654＝120.

(3)每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這6人中選出1人參賽．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為6³＝216.

通過(guò)導(dǎo)語(yǔ)，幫助學(xué)生回顧計(jì)數(shù)問(wèn)題，引出學(xué)習(xí)課題。

通過(guò)具體問(wèn)題，已發(fā)學(xué)生思考，通過(guò)分析、比較、歸納、形成對(duì)計(jì)數(shù)原理的認(rèn)識(shí)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本步驟，并能區(qū)分它們的聯(lián)系和區(qū)別，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.某教師有相同的語(yǔ)文參考書(shū)3本，相同的數(shù)學(xué)參考書(shū)4本，從中取出4本贈(zèng)送給4位學(xué)生，每位學(xué)生1本，則不同的贈(zèng)送方法共有( )

A．20種 B．15種 C．10種 D．4種

解析：若4本中有3本語(yǔ)文參考書(shū)和1本數(shù)學(xué)參考書(shū)，則有4種方法，若4本中有1本語(yǔ)文參考書(shū)和3本數(shù)學(xué)參考書(shū)，則有4種方法，若4本中有2本語(yǔ)文參考書(shū)和2本數(shù)學(xué)參考書(shū)，則有6種方法，若4本都是數(shù)學(xué)參考書(shū)，則有一種方法，所以不同的贈(zèng)送方法共有4＋4＋6＋1＝15(種).故選B.

答案：B

2.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同的選法的種數(shù)是( )

A．5⁶ B．6⁵ C．30 D．11

解析：(1)第一名同學(xué)有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方法，…，依次，第六名同學(xué)有5種選擇方法，綜上，6名同學(xué)共有5⁶種不同的選法．故選A.

3. 4張卡片的正、反面分別標(biāo)有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起,可組成 個(gè)不同的三位數(shù).

解析:分三個(gè)步驟:

第一步:百位可放8-1=7個(gè)數(shù);

第二步:十位可放6個(gè)數(shù);

第三步:個(gè)位可放4個(gè)數(shù).

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成N=764=168個(gè)不同的三位數(shù).

答案:168

4.如圖所示的電路圖,從A到B共有 條不同的線路可通電.

解析:先分三類.第一類,經(jīng)過(guò)支路①有3種方法;第二類,經(jīng)過(guò)支路②有1種方法;第三類,經(jīng)過(guò)支路③有22=4種方法,所以總的線路條數(shù)N=3+1+4=8.

答案:8

5.如圖,一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的棱,從頂點(diǎn)A爬到相對(duì)頂點(diǎn)C₁,求其中經(jīng)過(guò)3條棱的路線共有多少條?

解:從總體上看有三類方法,分別經(jīng)過(guò)AB,AD,AA₁.從局部上看每一類又需分兩步完成.故第一類:經(jīng)過(guò)AB,有m₁=12=2條;第二類:經(jīng)過(guò)AD,有m₂=12=2條;第三類:經(jīng)過(guò)AA₁,有m₃=12=2條.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C₁經(jīng)過(guò)3條棱的路線共有N=2+2+2=6條.

6.某外語(yǔ)組有9人,每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén),其中7人會(huì)英語(yǔ),3人會(huì)日語(yǔ),從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教,有多少種不同的選法?

解:由題意知,有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ),6人只會(huì)英語(yǔ),2人只會(huì)日語(yǔ).

方法一:分兩類.

第一類:從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人有6種選法,從會(huì)日語(yǔ)的3人中選1人有3種選法.此時(shí)共有63=18(種)選法.

第二類:從“全能”的人中選1人有1種選法,從只會(huì)日語(yǔ)的2人中選1人有2種選法,此時(shí)有12=2(種)選法.所以由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有18+2=20(種)選法.

方法二:設(shè)既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的人為甲,則甲有入選和不入選兩類情形,入選后又分兩種情況:(1)教英語(yǔ);(2)教日語(yǔ).

第一類:甲入選.

(1)甲教英語(yǔ),再?gòu)闹粫?huì)日語(yǔ)的2人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有12=2(種)選法;

(2)甲教日語(yǔ),再?gòu)闹粫?huì)英語(yǔ)的6人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有16=6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8(種).

第二類:甲不入選.

可分兩步:第一步,從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人有6種選法;第二步,從只會(huì)日語(yǔ)的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有62=12(種)不同的選法.綜上,共有8+12=20(種)不同的選法.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。