分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(2)教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第六章《計(jì)數(shù)原理》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理。

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，其核心是準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理，弄清它們的區(qū)別。理解它關(guān)鍵就是要根據(jù)實(shí)例概括兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)問題已經(jīng)有一些經(jīng)驗(yàn)和技巧，本節(jié)課的內(nèi)容分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展。由于排列、組合及二項(xiàng)式定理的研究都是以兩個(gè)計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ),所以在本學(xué)科計(jì)數(shù)問題中有重要的地位，是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的重點(diǎn)是兩個(gè)原理的理解與應(yīng)用，解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是從單一到綜合，恰當(dāng)安排實(shí)例。

課件教案

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.進(jìn)一步理解和掌握分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理；

B．能應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題.

1.數(shù)學(xué)抽象：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

2.邏輯推理：運(yùn)用分類思想解決復(fù)雜問題

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題

4.數(shù)學(xué)建模：將計(jì)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為分類和分步計(jì)數(shù)問題

重點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡單應(yīng)用

難點(diǎn)：準(zhǔn)確應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、溫故知新

兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別

1.聯(lián)系:分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法.

2.區(qū)別

	分類加法計(jì)數(shù)原理	分步乘法計(jì)數(shù)原理
區(qū)別一	完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”	完成一件事共有n個(gè)步驟,關(guān)鍵詞是“分步”
區(qū)別二	每類辦法中的每種方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事	除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事
區(qū)別三	各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的	各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)

二、典例解析

例4. 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，

問共有多少種不同的掛法？

分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成.

解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，

可以分兩個(gè)步驟完成:

第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法，

第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是

N=32=6.

例5．給程序模塊命名，需要用個(gè)字符，其中首字符要求用字母或，后兩個(gè)要求用數(shù)字.問最多可以給多少個(gè)程序命名？

分析：要完成一件事是“給一個(gè)程序模塊命名” ，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，首選字符，第2步，選中間字符；第3步，選最后一個(gè)字符，還有首字符又可以分為兩類。

解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為，后兩個(gè)字符從中選，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，

所以不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同名稱的個(gè)數(shù)是，

即最多可以給1053個(gè)程序命名.

例6. 電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.問：

（1）一個(gè)字節(jié)(8位)最多可以表示多少個(gè)不同的字符？

（2）計(jì)算機(jī)漢字國標(biāo)碼(GB碼)包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？

分析：（1）要完成的一件事是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字” .由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都是0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理來求解；（2）只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個(gè)即可.

解：（1）一個(gè)字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一個(gè)字節(jié)最多可以表示

22222222==256個(gè)不同的字符；

（2）由（1）知，用一個(gè)字節(jié)能表示256個(gè)字符，

∵256<6763，一個(gè)字節(jié)不夠；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，

2個(gè)字節(jié)可以表示256256=65536個(gè)不同的字符，

∵65536>6763，所以每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)表示.

例7.計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行調(diào)試，程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù).一般地，一個(gè)程序模塊由許多字模塊組成，如圖，這是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑？

另外，為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù).你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方法，以減少測(cè)試次數(shù)嗎？

分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可有子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來完成；第2步可以由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來完成，因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)技術(shù)原理.

解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1、子模塊2,、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91；

子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81.

又由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為9181=7371.

在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測(cè)試整個(gè)模塊，這樣，它可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常，總共需要的測(cè)試次數(shù)為

18+45+18+38+43=172.

再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，只需要測(cè)試程序第1步中的各個(gè)子模塊和第2步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常，需要測(cè)試的次數(shù)為32=6.
如果每個(gè)子模塊都正常功能，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工作，正常這樣測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?/span>172+6=178，顯然178與7371的差距是非常大的.

1.使用兩個(gè)原理的原則

使用兩個(gè)原理解題時(shí),一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對(duì)于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計(jì)數(shù)原理;“分步”就是把問題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決,這時(shí)可用分步乘法計(jì)數(shù)原理.

2.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的四個(gè)步驟

(1)明確完成的這件事是什么.

(2)思考如何完成這件事.

(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.

(4)選擇計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.
例8.通常，我國民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二部分有阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào)如圖，

其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：
（1）由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除 O,I之外的24個(gè)英文字母組成;
（2）最多只能有2個(gè)英文字母.
如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號(hào)牌？

典例解析

分析：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，序號(hào)的個(gè)數(shù)決定了這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)，按程序編碼規(guī)則可知，每個(gè)序號(hào)中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號(hào)分為三類；沒有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母，以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個(gè)字母的序號(hào)，分為五個(gè)子類，將有2個(gè)字母的序號(hào)，分為十個(gè)子類.

解：有號(hào)牌編號(hào)的組成可知，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù)，根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則，5位序號(hào)可以分為三類：沒有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母.

（1）當(dāng)沒有字母時(shí)，序號(hào)的每一位都是數(shù)字，確定一個(gè)序號(hào)可分5個(gè)步驟，每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，各有10種選法，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)為1010101010=100000.

（2）當(dāng)有1個(gè)字母時(shí)，這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類.
當(dāng)?shù)?/span>1位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1步，從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選一個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為：2410101010=240000.
同樣，其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張。

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)，共為

240000+240000+240000+240000+240000=1200000.

（3）當(dāng)有2個(gè)字母時(shí)，根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置，可將這類序號(hào)分為十個(gè)子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.
當(dāng)?shù)?/span>1位和第2位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1~2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位，第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為2424101010=576000
同樣其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有576000張
于是這類號(hào)牌張數(shù)一共為57600010=5760000

綜合（1）（2）（3）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)為

10000十1200000+5760000=7060000.

解決抽取(分配)問題的方法

(1)當(dāng)涉及對(duì)象的數(shù)目不大時(shí),一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法.

(2)當(dāng)涉及對(duì)象的數(shù)目很大時(shí),一般有兩種方法:①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的,則按分步進(jìn)行;若是按對(duì)象特征抽取的,則按分類進(jìn)行.②間接法.去掉限制條件,計(jì)算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.

歸納總結(jié)

跟蹤訓(xùn)練. 7名學(xué)生中有3名學(xué)生會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋,有2名學(xué)生會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋,另2名學(xué)生既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋.現(xiàn)從中選出會(huì)下象棋和會(huì)下圍棋的學(xué)生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法?

跟蹤訓(xùn)練

解:第1類,從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得N₁=32=6(種).

第2類,從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得N₂=32=6(種).

第3類,從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得N₃=22=4(種).

第4類,從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,有N₄=2種.

綜上,由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,不同選法共有N=N₁+N₂+N₃+N₄=6+6+4+2=18(種).

通過引導(dǎo)學(xué)生回顧計(jì)數(shù)原理，進(jìn)一步比較分析加深對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理得理解。

通過具體問題，分析、比較、歸納、加深對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的認(rèn)識(shí)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本步驟，并能區(qū)分它們的聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)而靈活運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和7條不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,那么不同的配法種數(shù)為( )

A.11 B.28 C.16 384 D.2 401

解析:要完成配套,分兩步:第1步,選上衣,從4件上衣中任選一件,有4種不同的選法;第2步,選長褲,從7條長褲中任選一條,有7種不同的選法.故共有47=28(種)不同的配法.

答案:B

2.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為( )

A.30 B.20 C.10 D.6

解析:從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)可分為兩類,①取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;②取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種取法.故由分類加法計(jì)數(shù)原理得,共有N=3+3=6(種)取法.

答案:D

3.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè),已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴,乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從中選一個(gè)作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的選法有( )