兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)教學(xué)設(shè)計

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

在平面幾何中，我們對直線做了定性研究，引入平面直角坐標(biāo)系后，我們用二元一次方程表示直線，直線的方程就是相應(yīng)直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的一個關(guān)系式，這樣我們可以通過方程把握直線上的點(diǎn)，進(jìn)而用代數(shù)方法對直線進(jìn)行定量研究，例如求兩條直線的交點(diǎn)，坐標(biāo)平面內(nèi)與點(diǎn)直線相關(guān)的距離問題等。

二、探究新知

兩條直線的交點(diǎn)

1.已知兩條直線的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,設(shè)這兩條直線的交點(diǎn)為P,則點(diǎn)P既在直線l1上,也在直線l2上.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x+B1y+C1=0,也滿足直線l2的方程A2x+B2y+C2=0,即點(diǎn)P的坐標(biāo)就是方程組的解.

2.

點(diǎn)睛：如果兩條直線相交,則交點(diǎn)坐標(biāo)分別適合兩條直線的方程,即交點(diǎn)坐標(biāo)是兩直線方程所組成方程組的解.

1.直線 x+y=5與直線x-y=3交點(diǎn)坐標(biāo)是( )

A.(1,2) B.(4,1) C.(3,2) D.(2,1)

解析:解方程組因此交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1).

答案:B

三、典例解析

例1.直線l過直線x＋y－2＝0和直線x－y＋4＝0的交點(diǎn)，且與直線3x－2y＋4＝0平行，求直線l的方程．

[解] 法一：聯(lián)立方程解得即直線l過點(diǎn)(－1,3)．

因?yàn)橹本€l的斜率為，

所以直線l的方程為y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.

法二：因?yàn)橹本€x＋y－2＝0不與3x－2y＋4＝0平行，

所以可設(shè)直線l的方程為x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，

整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，

因?yàn)橹本€l與直線3x－2y＋4＝0平行，

所以＝≠，解得λ＝，

所以直線l的方程為x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0.

求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法

(1)解本題有兩種方法：一是采用常規(guī)方法，先通過解方程組求出兩直線交點(diǎn)，再根據(jù)平行關(guān)系求出斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程；二是設(shè)出過兩直線交點(diǎn)的方程，再根據(jù)平行條件待定系數(shù)求解.

(2)過兩條相交直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直線l2).

跟蹤訓(xùn)練1．三條直線ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一點(diǎn)，求a的值．

[解] 解方程組

得

所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,－2)．

由題意知點(diǎn)(4,－2)在直線ax＋2y＋7＝0上，將(4,－2)代入，

得a4＋2(－2)＋7＝0，解得a＝－.

例2.分別判斷下列直線是否相交,若相交,求出它們的交點(diǎn).

(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;

(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;

(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.

思路分析:直接將兩直線方程聯(lián)立方程組,根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷兩直線是否相交.

解:(1)方程組的解為

因此直線l1和l2相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1).

(2)方程組有無數(shù)個解,

這表明直線l1和l2重合.

(3)方程組無解,

這表明直線l1和l2沒有公共點(diǎn),故l1∥l2.

跟蹤訓(xùn)練2 已知直線5x+4y=2a+1與直線2x+3y=a的交點(diǎn)位于第四象限,則a的取值范圍是 .

解析:由

由∴-

答案:-,2

例3 (1)求經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)和兩直線l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交點(diǎn)的直線方程;

(2)無論實(shí)數(shù)a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直線恒過定點(diǎn),試求該定點(diǎn).

思路分析:(1)設(shè)所求直線方程為x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再將x=1,y=0代入求出λ,即得所求直線方程.

(2)將直線方程改寫為-x-y-1+a(x+2)=0.

解方程組得直線所過定點(diǎn).

解:(1)設(shè)所求直線方程為x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.

∵點(diǎn)P(1,0)在直線上, ∴1-2+λ(3+2)=0.

∴λ=.∴所求方程為x+2y-2+(3x-2y+2)=0,

即x+y-1=0.

(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.

所以,已知直線恒過直線-x-y-1=0與直線x+2=0的交點(diǎn).

解方程組

所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直線恒過定點(diǎn)(-2,1).

利用直線系方程求直線的方程

經(jīng)過兩直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交點(diǎn)的直線方程可寫為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直線l2).反之,當(dāng)直線的方程寫為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0時,直線一定過直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練3 已知直線l經(jīng)過原點(diǎn),且經(jīng)過另兩條直線2x+3y+8=0,

x-y-1=0的交點(diǎn),則直線l的方程為( )

A.2x+y=0 B.2x-y=0

C.x+2y=0 D.x-2y=0

解析:(方法1)解方程組得交點(diǎn)為(-1,-2).又直線l經(jīng)過原點(diǎn),由兩點(diǎn)式得其方程為,即2x-y=0.

(方法2)設(shè)直線l的方程為2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其過原點(diǎn),

所以8+(-λ)=0,λ=8,直線l的方程為2x-y=0.

答案:B

例4 光線通過點(diǎn)A(2,3)在直線l:x+y+1=0上反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(1,1),試求入射光線和反射光線所在直線的方程.

思路分析:求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A→求反射光線所在直線的方程→求入射光線與反射光線的交點(diǎn)坐標(biāo)→求入射光線所在的直線方程

解:設(shè)點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A(x0,y0),

則 ，解之,得A(-4,-3).

由于反射光線經(jīng)過點(diǎn)A(-4,-3)和B(1,1),

所以反射光線所在直線的方程為y-1=(x-1),

即4x-5y+1=0.

解方程組得反射點(diǎn)P(-,-).

所以入射光線所在直線的方程為y-3=(x-2),即5x-4y+2=0.

點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求法

點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點(diǎn)P0(x0,y0),滿足關(guān)系解方程組可得點(diǎn)P0的坐標(biāo).

跟蹤訓(xùn)練4直線y=2x是△ABC的一個內(nèi)角平分線所在的直線,若A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-4,2),B(3,1),求點(diǎn)C的坐標(biāo).

解:把A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=2x知,A、B不在直線y=2x上,因此y=2x為角C的平分線,設(shè)點(diǎn)A(-4,2)關(guān)于y=2x的對稱點(diǎn)為A(a,b),則

,線段AA的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,

則解得∴A(4,-2),

∵y=2x是角C平分線所在直線的方程,

∴A在直線BC上,

∴直線BC的方程為,即3x+y-10=0,由

解得∴C(2,4).

金題典例 過點(diǎn)P(3,0)作一直線分別交直線2x-y-2=0和x+y+3=0于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn),求此直線的方程.

解:分析一:設(shè)出直線的方程,求出交點(diǎn)的坐標(biāo),再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

解法一:若直線斜率不存在,則方程為x=3.

由得A(3,4).，由得B(3,-6).

由于=-1≠0,∴P不為線段AB的中點(diǎn).

若直線斜率存在,設(shè)為k,則方程為y=k(x-3).

由得A().

由得B(,-).

∵P(3,0)為線段AB的中點(diǎn),

∴∴

∴k=8.

∴所求直線方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.

分析二:設(shè)出A(x1,y1),由P(3,0)為AB的中點(diǎn),易求出B的坐標(biāo),而點(diǎn)B在另一直線上,從而求出x1、y1的值,再由兩點(diǎn)式求直線的方程.

解法二:設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),則由P(3,0)為線段AB的中點(diǎn),得B點(diǎn)坐標(biāo)為(6-x1,-y1).

∵點(diǎn)A,B分別在已知兩直線上,

∴解得

∴A.∵點(diǎn)A,P都在直線AB上,

∴直線AB的方程為,

即8x-y-24=0.

分析三:由于P(3,0)為線段AB的中點(diǎn),可對稱地將A,B坐標(biāo)設(shè)為(3+a,b),(3-a,-b),

代入已知方程.

∴直線AB的斜率即直線AP的斜率,值為=8.

∴所求直線的方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.

點(diǎn)睛:解法三這種對稱的設(shè)法需要在平常學(xué)習(xí)中加以積累,以上三種解法各有特點(diǎn),要善于總結(jié),學(xué)習(xí)其簡捷解法,以提高解題速度.

解法三:∵P(3,0)為線段AB的中點(diǎn),∴可設(shè)A(3+a,b),B(3-a,-b).

∵點(diǎn)A,B分別在已知直線上,

通過直線與二元一次方程的關(guān)系，提出運(yùn)用方程研究直線位置關(guān)系得問題，讓學(xué)生感悟運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法。

理解運(yùn)用解方程組，求解直線交點(diǎn)坐標(biāo)的方法。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生逐步感悟運(yùn)用解析法研究幾何問題的方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進(jìn)一步靈活運(yùn)用直線方程，解決兩直線的位置關(guān)系及對稱問題，提高學(xué)生解決問題的能力。