等比數(shù)列的概念(1)教學設(shè)計

教學過程

教學設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、新知探究

我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)” 。類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運算的角度出發(fā)，你覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？

1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:

2.《莊子天下》中提到：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之錘”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，每天得到的“錘”的長度依次是

3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20 min 就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是

2,4,8,16,32,64,…

4.某人存入銀行元，存期為5年，年利率為，那么按照復利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是

如果用 {an} 表示數(shù)列①，那么有

其余幾個數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律嗎？，請你試著寫一寫。

探究1 類比等差數(shù)列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

等差數(shù)列的概念

2 ；前一項；同一個常數(shù)；常數(shù)；d

探究2 類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？

一般地，如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示(顯然)．符號語言：．

探究3：在等差數(shù)列中，我們學習了等差中項的概念，通過類比，我們在等比數(shù)列中有什么相應的概念？如何定義？

1．下列數(shù)列為等比數(shù)列的是( )

A．m，m2，m3，m4，…

B．22,42,62,82，…

C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…

D．，，，，…

D 解析：當m＝0，q＝1時，A，C均不是等比數(shù)列；≠，

所以B不是等比數(shù)列．

2．方程x2－5x＋4＝0的兩根的等比中項是( )

A． B．2 C． D．2

B 解析：設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2＝4，∴兩根的等比中項為＝2.

探究3. 你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導它的通項公式嗎？

設(shè)一個等差數(shù)列的首項為,公差為,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得=

所以=,=,=,…

于是+,

+=(+) ++ 2,

+=(+) ++ 3,……

歸納可得+()(n)

當n時，上式為+()，這就是說,上式當時也成立。

因此，首項為,公差為的等差數(shù)列的通項公式為+()

請你回憶一下，等差數(shù)列通項公式的推導過程，類比猜想，等比數(shù)列如何推導通項公式？

設(shè)一個等比數(shù)列的為,根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得

所以,

=(),

=()

……

歸納可得(n)

又，這就是說，當n時，上式也成立。

因此，首項為,公比為的等比數(shù)列的通項公式為

探究4.在等差數(shù)列中，公差的等差數(shù)列可以與相應的一次函數(shù)建立聯(lián)系，那么對于等比數(shù)列，公比滿足什么條件的數(shù)列可以與相應的函數(shù)建立類似的聯(lián)系？

當,()

當,()

即指數(shù)型函數(shù)

（為,常數(shù)，,且）構(gòu)成一個等比數(shù)列，

其首項為，公比為

探究5：類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你能說說公比的等比數(shù)列的單調(diào)性嗎？

二、典例解析

例1.若等比數(shù)列的第4項和第6項分別為48和12，求的第5項.

分析：等比數(shù)列由唯一確定，可利用條件列出關(guān)于的方程（組），進行求解。

解法1：由，，得

的兩邊分別除以①的兩邊，得解得或.

把代入①，得

此時.

把代入①，得.

此時.

因此的第5項是24或.

解法2：因為是與的等比中項，所以.

所以.

因此，的第5項是24或-24.

例2 已知等比數(shù)列的公比為，試用的第項表示.

解：由題意，得，①

②的兩邊分別除以①的兩邊，得=

所以.

1．在一個等比數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項．

2．等比數(shù)列的任意一項都可以由該數(shù)列的某一項和公比表示.

跟蹤訓練1 在等比數(shù)列{an}中，

(1)若a2＝4，a5＝－，求an；

(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.

解：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q.

(1)由題意可知

∴q＝－，a1＝－8，

∴an＝a1qn－1＝－8n－1＝(－2)4－n.

(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，

∴q＝.

由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，

由an＝a1qn－1＝1知n＝6.

例3. 數(shù)列共有5項，前三項成等比數(shù)列，后三項成等差數(shù)列，第3項等于80，第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132，求這個數(shù)列.

分析：先利用已知條件表示出數(shù)列的各項，再進一步根據(jù)條件列出方程組求解.

解：設(shè)前三項的公比為,后三項的公差為，則數(shù)列的各項依次為,80,80, 80,

于是得

解方程組，得

所以這個數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.

跟蹤訓練2.有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù).

解法1：設(shè)這四個數(shù)依次為,

于是得解方程組，得

所以當a＝4，d＝4時，所求的四個數(shù)為0,4,8,16；

當a＝9，d＝－6時，所求的四個數(shù)為15,9,3,1.

故所求的四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.

解法2：設(shè)這四個數(shù)依次為,

于是得解方程組，得

所以當a＝8，q＝2時，所求的四個數(shù)為0,4,8,16；

當a＝3，時，所求的四個數(shù)為15,9,3,1.

故所求的四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.

通過與等差數(shù)列進行類比，引導學生通過觀察、分析、歸納出等比數(shù)列的定義。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過與等差數(shù)列中項性質(zhì)的類比，獲得等比數(shù)列中項的性質(zhì)。發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題，加深學生對等比數(shù)列及其函數(shù)特征的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素。

通過典型例題，加深學生對等比數(shù)列綜合運用能力。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素