一元線性回歸模型及其應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 能通過(guò)具體實(shí)例說(shuō)明一元線性回歸模型修改的依據(jù)與方法.

b.通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的進(jìn)一步分析，能將某些非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題并加以解決，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

c.能通過(guò)實(shí)例說(shuō)明決定系數(shù)R2的意義和作用，提高數(shù)據(jù)分析能力。

1.數(shù)學(xué)抽象：一元線性回歸模型

2.邏輯推理：最小二乘法與回歸方程

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求決定系數(shù)

4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等.

如果能像建立函數(shù)模型刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型刻畫(huà)兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個(gè)模型研究?jī)蓚€(gè)變量之間的隨機(jī)關(guān)系，并通過(guò)模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

二、探究新知

探究1:生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們,兒子的身高與父親的身高相關(guān).一般來(lái)說(shuō),父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究?jī)烧咧g的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表所示.

可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).利用統(tǒng)計(jì)軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高

探究2. 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫(huà)嗎？

表中的數(shù)據(jù)，存在父親身高相同而兒子身高不同的情況.例如，第6個(gè)和第8個(gè)觀測(cè)父親的身高均為172cm，而對(duì)應(yīng)的兒子的身高為176cm和174cm；同樣在第3，4個(gè)觀測(cè)中，兒子的身高都是170cm，而父親的身高分別為173cm，169cm.可見(jiàn)兒子的身高不是父親身高的函數(shù)同樣父親的身高也不是兒子身高的函數(shù)，所以不能用函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà).

探究3：從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致分布在一條直線附近表明兒子身高和父親身高有較強(qiáng)的線性關(guān)系.我們可以這樣理解，由于有其他因素的存在，使兒子身高和父親身高有關(guān)系但不是函數(shù)關(guān)系.那么影響兒子身高的其他因素是什么？

影響兒子身高的因素除父親的身外，還有母親的身高、生活的環(huán)境、飲食習(xí)慣、營(yíng)養(yǎng)水平、體育鍛煉等隨機(jī)的因素，兒子身高是父親身高的函數(shù)的原因是存在這些隨機(jī)的因素.

探究3：由探究3我們知道，正是因?yàn)榇嬖谶@些隨機(jī)的因素，使得兒子的身高呈現(xiàn)出隨機(jī)性各種隨機(jī)因素都是獨(dú)立的，有些因素又無(wú)法量化.你能否考慮到這些隨機(jī)因素的作用，用類似于函數(shù)的表達(dá)式，表示兒子身高與父親身高的關(guān)系嗎？

如果用x表示父親身高，Y表示兒子的身高，用e表示各種其他隨機(jī)因素影響之和，稱e為隨機(jī)誤差，由于兒子身高與父親身高線性相關(guān)，所以Y=bx+a.

一元線性回歸模型

用X表示父親身高,Y表示兒子身高,e表示隨機(jī)誤差,假定隨機(jī)誤差e的均值為0,方差為與父親身高無(wú)關(guān)的定值σ²，則它們之間的關(guān)系可以表示為, (1)

我們稱(1)式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型(simple linear regression model).

其中,Y稱為因變量或響應(yīng)變量,x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差,模型中的Y也是隨機(jī)變量,其值雖然不能由變量x的值確定,但是卻能表示為bx+a與e的和(疊加),前一部分由x所確定,后一部分是隨機(jī)的,如果e=0,那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來(lái)描述.

問(wèn)題1. 你能結(jié)合父親與兒子身高的實(shí)例，說(shuō)明回歸模型①的意義？

可以解釋為父親身高為的所有男大學(xué)生身高組成一個(gè)子總體，該子總體的均值為b+a，即該子總體的均值與父親的身高是線性函數(shù)關(guān)系.

而對(duì)于父親身高為的某一名男大學(xué)生，他的身高y_i并不一定為b+a，它僅是該子總體的一個(gè)觀測(cè)值，這個(gè)觀測(cè)值與均值有一個(gè)誤差項(xiàng)e_i=y_i －(+a).

問(wèn)題2.你能結(jié)合具體實(shí)例解釋產(chǎn)生模型①中隨機(jī)誤差項(xiàng)的原因嗎？

產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因有：

（1）除父親身高外,其他可能影響兒子身高的因素,比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等.

（2）在測(cè)量?jī)鹤由砀邥r(shí)，由于測(cè)量工具、測(cè)量精度所產(chǎn)生的測(cè)量誤差.

（3）實(shí)際問(wèn)題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來(lái)近似這種關(guān)系，這種近似關(guān)系也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.

與函數(shù)模型不同，回歸模型的參數(shù)一般是無(wú)法精確求出的，只能通過(guò)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)這兩個(gè)參數(shù)。參數(shù)a和b刻畫(huà)了變量Y與變量x的線性關(guān)系，因此通過(guò)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)這兩個(gè)參數(shù)，相當(dāng)于尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€，使表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最接近.

問(wèn)題3：為了研究?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們建立了一元線性回歸模型達(dá)式刻畫(huà)的是變量Y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)

系，其中參數(shù)a和b未知，我們能否通過(guò)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)a和b?

問(wèn)題4.我們?cè)鯓訉ふ乙粭l“最好”的直線，使得表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最“接近”？

目標(biāo)：從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，用數(shù)學(xué)的方法刻畫(huà)“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”

方法：利用點(diǎn)到直線y=bx+a的“距離”來(lái)刻畫(huà)散點(diǎn)與該直線的接近程度，然后用所有“距離”之和刻畫(huà)所有樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與該直線的接近程度. 我們?cè)O(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x_1,y₁),(x₂,y₂),…,(x_n,y_n),由y_i=bx_i+a+e_i（i=1,2,…,n)，得|y_i-(bx_i+a)|=|e_i|.顯然|e_i|越小，表示點(diǎn)(x_i,y_i)與點(diǎn)(x_i,bx_i+a)的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小。特別地,當(dāng)e_i=0時(shí),表示點(diǎn)(x_i,y_i)在這條直線上.

因此，可以用來(lái)刻畫(huà)各樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的整體接近程度。

在實(shí)際應(yīng)用中,因?yàn)榻^對(duì)值使得計(jì)算不方便,所以人們通常用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方之和

來(lái)刻畫(huà)“整體接近程度”

殘差平方和：

求a，b的值,使Q(a,b)最小

在上式中,x_i,y_i(i=1,2,3,…,n)是已知的成對(duì)樣本數(shù)據(jù),所以Q由a和b所決定,即它是a和b的函數(shù),因?yàn)?/span>Q還可以表示為即它是隨機(jī)誤差的平方和,這個(gè)和當(dāng)然越小越好,所以我們?nèi)∈?/span>Q達(dá)到最小的a和b的值,作為截距和斜率的估計(jì)值。下面利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)求使Q取最小值的

上式是關(guān)于b的二次函數(shù)，因此要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)b的取值

我們將稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫最小二乘法．

注意：

1、經(jīng)驗(yàn)回歸必過(guò).

2、都是估計(jì)值.

3 、與r符號(hào)相同.

問(wèn)題5：利用下表的數(shù)據(jù)，依據(jù)用最小二乘估計(jì)一元線性回歸模型參數(shù)的公式，求出兒子身高Y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程。

通過(guò)信息技術(shù)，計(jì)算求得

問(wèn)題6：當(dāng)x=176時(shí)， ,如果一位父親身高為176cm,他兒子長(zhǎng)大后身高一定能長(zhǎng)到177cm嗎？為什么？

兒子的身高不一定會(huì)是177cm，這是因?yàn)檫€有其他影響兒子身高的因素，回歸模型中的隨機(jī)誤差清楚地表達(dá)了這種影響，父親的身高不能完全決定兒子的身高，不過(guò)，我們可以作出推測(cè)，當(dāng)父親的身高為176cm時(shí)，兒子身高一般在177cm左右.

如果把父親身高為176cm的所有兒子身高作為一個(gè)子總體，那么177cm是這個(gè)子總體均值的估計(jì)值.一般地，

因?yàn)?/span>E(Y)=bx+a，是bx+a的估計(jì)值，所以是E(Y)的估計(jì)值.

我們稱y_i為響應(yīng)變量Y的觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的為預(yù)測(cè)值.為了研究回歸模型的有效性，定義殘差為=y_i-，殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)值，通過(guò)對(duì)殘差的分析可判斷回歸模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面的工作稱為殘差分析.

例如,對(duì)于右表中的第6個(gè)觀測(cè),父親身高為172cm,其兒子身高的觀測(cè)值為y==176(cm),預(yù)測(cè)值為96=0.839172+28.957=173.265(cm),殘差為176-173.265=2.735(cm).類似地,可以得到其他的殘差,如右表所示.

問(wèn)題7：兒子身高與父親身高的關(guān)系，運(yùn)用殘差分析所得的一元線性回歸模型的有效性嗎？

殘差圖：作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差,橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．

觀察表可以看到,殘差有正有負(fù),殘差的絕對(duì)值最大是4.413.觀察殘差的散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn),殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說(shuō)明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定,是均值為0、方差為σ²的隨機(jī)變量的觀測(cè)值.可見(jiàn),通過(guò)觀察殘差圖可以直觀判新模型是否滿足一元線性回歸模型的假設(shè).

一般地,建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程后,通常需要對(duì)模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果進(jìn)行分析,借助殘差分析還可以對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn),使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測(cè)與決策。

問(wèn)題8：觀察以下四幅殘差圖，你認(rèn)為哪一個(gè)殘差滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定？

根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定，殘差應(yīng)是均值為0、方差為的隨機(jī)變量的觀測(cè)值.

圖（1）顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，應(yīng)將時(shí)間變量納入模型；

圖（2）顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時(shí)間的非線性函數(shù)部分；

圖（3）說(shuō)明殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨觀測(cè)時(shí)間變大而變大；

圖（4）的殘差比較均勻地集中在以橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi).所以，只有圖(4）滿足一元線性回歸模型對(duì)隨機(jī)誤差的假設(shè)。

三、典例解析

例1.經(jīng)驗(yàn)表明,對(duì)于同一樹(shù)種,一般樹(shù)的胸徑(樹(shù)的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大,樹(shù)就越高.由于測(cè)量樹(shù)高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹(shù)高.在研究樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系時(shí),某林場(chǎng)收集了某種樹(shù)的一些數(shù)據(jù)如下表所示,試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹(shù)高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

解: 以胸徑為橫坐標(biāo),樹(shù)高為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖如下：

散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫(huà)樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系.

用d表示胸徑,h表示樹(shù)高,根據(jù)據(jù)最小二乘法,計(jì)算可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由胸徑的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出樹(shù)高的預(yù)測(cè)值(精確到0.1)以及相應(yīng)的殘差，如下表所示.

以胸徑為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，得到下圖.

觀察殘差表和殘差圖，可以看到殘差的絕對(duì)值最大是 0.8，所有殘差分布在以橫軸為對(duì)稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi) .可見(jiàn)經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫(huà)了樹(shù)高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程由胸徑預(yù)測(cè)樹(shù)高.

建立線性回歸模型的基本步驟：

(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是響應(yīng)變量．

(2)畫(huà)出解釋變量與響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．

(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型．

(4)按一定規(guī)則（如最小二乘法）估計(jì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù).

(5)得出結(jié)果后需進(jìn)行線性回歸分析.

①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.

②決定系數(shù)R²取值越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好.

需要注意的是：若題中給出了檢驗(yàn)回歸方程是否理想的條件，則根據(jù)題意進(jìn)行分析檢驗(yàn)即可.

例2.人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動(dòng)員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對(duì)數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗(yàn)回歸方程。

解：以成對(duì)數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo),世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖,得到下圖，散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

用Y表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄,t表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份 ,利用一元線性回歸模型來(lái)刻畫(huà)世界紀(jì)錄和世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系 . 根據(jù)最小二乘法,由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：

將經(jīng)驗(yàn)回歸直線疊加到散點(diǎn)圖，得到下圖：

仔細(xì)觀察：從圖中可以看到，經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫(huà)了散點(diǎn)的變化趨勢(shì)，請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)觀察圖形，你能看出其中存在的問(wèn)題嗎?

第一個(gè)世界紀(jì)錄所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)回歸直線，并且前后兩時(shí)間段中的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的上方，中間時(shí)間段的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的下方.

這說(shuō)明散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗(yàn)回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對(duì)樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.

思考：你能對(duì)模型進(jìn)行修改,以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎？

仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.回顧已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=-lnx的圖象具有類似的形狀特征

注意到100m短跑的第一個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年, 因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線y=f(t)=c₁+c₂ln(t-1895)的周圍，其中c₁、c₂為未知參數(shù)，且c₂<0.

用上述函數(shù)刻畫(huà)數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì),這是一個(gè)非線性經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù),其中c_1，c₂是待定參數(shù),現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何利用成對(duì)數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)c₁和c₂;令x=ln(t-1895)，則Y=c₂x+c₁對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變化可得下表：

得到散點(diǎn)圖，由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：

我們發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)圖中各散點(diǎn)都非?？拷?/span>②的圖象，表明非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②

對(duì)于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗(yàn)回歸方程①.

(1).直接觀察法.在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出成對(duì)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖、非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的圖象(藍(lán)色)以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的圖象(紅色).

（2).殘差分析:殘差平方和越小,模型擬合效果越好.

Q₂明顯小于Q₁，說(shuō)明非線性回歸方程的擬合效果要優(yōu)于線性回歸方程.

（3).利用決定系數(shù)R²刻畫(huà)回歸效果.

R²越大，表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好

R²越小，表示殘差平方和越大，即模型擬合效果越差.

①和②的R²分別為0.7325和0.9983說(shuō)明非線性回歸方程的擬合效果要優(yōu)于線性回歸方程。

(4)用新的觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果,事實(shí)上,我們還有1968年之后的男子短跑100m世界紀(jì)錄數(shù)據(jù),如表所示

在散點(diǎn)圖中,繪制表中的散點(diǎn)(綠色),再添加經(jīng)驗(yàn)回歸方程①所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線(紅色),以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程②所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸曲線(藍(lán)色),得到右圖.顯然綠色散點(diǎn)分布在藍(lán)色經(jīng)驗(yàn)回歸曲線的附近,遠(yuǎn)離紅色經(jīng)驗(yàn)回歸直線,表明經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對(duì)于新數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①.

思考：在上述問(wèn)題情境中,男子短跑100m世界紀(jì)錄和紀(jì)錄創(chuàng)建年份之間呈現(xiàn)出對(duì)數(shù)關(guān)系,能借助于樣本相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)這種關(guān)系的強(qiáng)弱嗎?在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí),需要注意下列問(wèn)題:

(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體,例如,根據(jù)我國(guó)父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,不能用來(lái)描述美國(guó)父親身高與兒子身高之間的關(guān)系,同樣,根據(jù)生長(zhǎng)在南方多雨地區(qū)的樹(shù)高與胸徑的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,不能用來(lái)描述北方干早地區(qū)的樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系。

(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)效性,例如,根據(jù)20世紀(jì)80年代的父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,不能用來(lái)描述現(xiàn)在的父親身高與兒子身高之間的關(guān)系。

(3)解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn),一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi),經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)效果會(huì)比較好,超出這個(gè)范圍越遠(yuǎn),預(yù)報(bào)的效果越差,

(4)不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值,事實(shí)上,它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值。建立非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型的基本步驟：

1.確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是響應(yīng)變量；

2.由經(jīng)驗(yàn)確定非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的模型；

3.通過(guò)變換，將非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型；

4.按照公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

6.得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．

跟蹤訓(xùn)練1.一只藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了6組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：

經(jīng)計(jì)算得：

線性回歸殘差的平方和:

其中 分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，i=1,2,3,4,5,6.

(1)若用線性回歸模型擬合，求y關(guān)于x的回歸方程 (精確到0.1）；

(2)若用非線性回歸模型擬合，求得y關(guān)于x回歸方程為且相關(guān)指數(shù)R²＝0.9522．

①試與(1)中的線性回歸模型相比較，用R²說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好 ?

②用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35℃時(shí)該種藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù).(結(jié)果取整數(shù)).

附：相關(guān)系數(shù)

解:

所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

∵0.9398＜0.9522

②＝0.06e^0.2303x＝＝0.06e^0.230335＝0.06e^8.0605≈31670.06≈190（個(gè)）

預(yù)測(cè)溫度為35℃時(shí)該種藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)為190個(gè)．

通過(guò)具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見(jiàn)解。從而引入一元線性回歸模型的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過(guò)問(wèn)題分析，讓學(xué)生理解運(yùn)用最小二乘法求線性回歸方程。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過(guò)具體的問(wèn)題情境中的分析，深化對(duì)殘差的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典型例題的分析解決，提升學(xué)生對(duì)回歸方程的理解和運(yùn)用。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。