古典概型和概率的基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計

課題

10.1.2 古典概型和概率的基本性質(zhì)

單元

第十單元

學(xué)科

數(shù)學(xué)

年級

高一

教材分析

本節(jié)內(nèi)容是在小學(xué)和初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，研究和總結(jié)古典概型，同時針對事件的關(guān)系進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率的基本性質(zhì)，數(shù)字化的理解事件之間的關(guān)系。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：利用生活實例判斷并得出古典概型的概念和概率的基本性質(zhì)；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

3.數(shù)學(xué)建模：掌握古典概型和概率的基本性質(zhì)；

4.直觀想象：計算和判斷事件的概率；

5.數(shù)學(xué)運算:能夠正確判斷古典概型，計算事件的概率；

6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導(dǎo)過程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點

古典概型，概率的基本性質(zhì)

難點

古典概型，概率的基本性質(zhì)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

問題導(dǎo)入：

問題一：我們討論過彩票搖號試驗、拋擲一枚硬幣的試驗及擲一枚質(zhì)地均勻骰子的試驗，它們有哪些共同特征？

發(fā)現(xiàn)它們有以下共同特征：

1、有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

2、等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等。

學(xué)生利用問題情景，引出本節(jié)新課內(nèi)容——古典概型。

設(shè)置問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并引出本節(jié)新課。

講授新課

新知講授（一）——古典概型

對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率。

我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型。

即具有以下兩個特征：

1、有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

2、等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等。

思考一：下面的隨機(jī)試驗是不是古典概型？

（1）一個班級中有18名男生、22名女生。采用抽簽的方式，從中隨機(jī)選擇一名學(xué)生，事件A=“抽到男生”

（2）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，事件B=“恰好一次正面朝上”

（1）班級中共有40名學(xué)生，從中選擇一名學(xué)生，即樣本點是有限個；因為是隨機(jī)選取的，所以選到每個學(xué)生的可能性都相等，因此這是一個古典概型。

（2）我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則試驗的樣本空間Ω={（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0）}，共有8個樣本點，且每個樣本點是等可能發(fā)生的，所以這是一個古典概型。

小試牛刀

1、某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)、...、命中5環(huán)和不中環(huán)。你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？

解：不是古典概型。

因為試驗的結(jié)果只有7個，但命中10環(huán)、命中9環(huán)、...、命中5環(huán)和不中環(huán)這些結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的。

方法總結(jié)：判斷一個試驗是不是古典概型抓住兩個要點：一是結(jié)果有限性；而是結(jié)果等可能性。

2、從所有整數(shù)中任取一個數(shù)的試驗中“抽取一個整數(shù)”

是古典概型嗎？

解：不是古典概型。

因為這個試驗有無數(shù)個基本事件，不滿足結(jié)果有限性。

思考二：如何度量事件A發(fā)生的可能性大小？

隨機(jī)試驗：一個班級中有18名男生、22名女生。采用抽簽的方式，從中隨機(jī)選擇一名學(xué)生，事件A=“抽到男生”

抽到男生的可能性大小，取決于男生數(shù)在班級學(xué)生數(shù)中所占的比例大小。

因此，可以用男生數(shù)與班級學(xué)生數(shù)的比值來度量。

則事件A的可能性大小為18/40=9/20.

思考三：如何度量事件B發(fā)生的可能性大小？

隨機(jī)試驗：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，事件B=“恰好一次正面朝上”

事件B發(fā)生的可能性大小，取決于這個事件包含的樣本點在樣本空間包含的樣本點中所占的比例大小。

因此，可以用事件包含的樣本點數(shù)與樣本空間包含的樣本點數(shù)的比值來度量。

因為B={（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）}

所以事件B發(fā)生的可能性大小為3/8.

古典概型的概率計算公式：

一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率

例1、單項選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A,B,C,D四個選項中選擇一個正確答案。如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案。假設(shè)考生有一題不會做，他隨機(jī)地選擇一個答案，答對的概率是多少？

解：試驗有選A、選B、選C、選D共四種可能結(jié)果，

試驗的樣本空間可以表示為Ω={A,B,C,D}

考生隨機(jī)選擇一個答案，表明每個樣本點發(fā)生的可能性相等，所以這是一個古典概型。

設(shè)M=“選中正確答案”，因為正確答案是唯一的，則n(M)=1

所以，考生隨機(jī)選擇一個答案，答對的概率

思考四：在標(biāo)準(zhǔn)化考試中也有多選題，多選題是從A,B,C,D四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中至少有一個選項是正確的）。你認(rèn)為單選題和多選題哪種更難選對？為什么？

在多選題中，基本事件為15個(A),(B),(C),(D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(A,B,C,D),假設(shè)該考生不會做，在他答對任何答案是等可能的情況下，他答對的概率是1/15，比單選題答對的概率1/4小得多，所以多選題更難答對。

例2、拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為Ⅰ號和Ⅱ號），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果。

（1）寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；

（2）求下列事件的概率：

A=“兩個點數(shù)之和5”

B=“兩個點數(shù)相等”

C=“Ⅰ號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”

解：（1）拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果，Ⅰ號骰子的每一個結(jié)果都可與Ⅱ號骰子的任意一個結(jié)果配對，組成拋擲兩枚骰子試驗的一個結(jié)果。

用數(shù)字m表示Ⅰ號骰子出現(xiàn)的點數(shù)是m，數(shù)字n表示Ⅱ號骰子出現(xiàn)的點數(shù)是n，則數(shù)組（m,n）表示這個試驗的一個樣本點。

因此，該試驗的樣本空間Ω={（m,n）|m,n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36個樣本點。

由于骰子的質(zhì)地均勻，所以各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，因此這個試驗是古典概型。

（2）因為A={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}所以n(A)=4，

因為B={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所以n(B)=6，

因為C={（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）}所以n(C)=15，

思考五：在例2中，為什么要把兩枚骰子標(biāo)上記號？你能解釋其中原因嗎?

如果不給兩枚骰子標(biāo)記號，則不能區(qū)分所拋擲的兩個點數(shù)分別屬于哪枚骰子，如拋出的結(jié)果是1點和2點，有可能第一枚骰子的結(jié)果是1點，也有可能第二枚骰子的結(jié)果是1點。

這樣，（1，2）和（2，1）的結(jié)果將無法區(qū)別。

思考六：如果不標(biāo)記號，會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中原因嗎

思考七：同一個事件的概率，為什么會出現(xiàn)兩個不同的結(jié)果呢？

我們可以發(fā)現(xiàn)，36個結(jié)果都是等可能的；

而合并為21個可能結(jié)果時，（1，1），（1，2）發(fā)生的可能性大小不等，這不符合古典概型特征，

所以不能用古典概型公式計算概率，

例3、袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次摸出2個球，求下列事件的概率：

（1）A=“第一次摸到紅球”

（2）B=“第二次摸到紅球”

（3）AB=“兩次都摸到紅球”

解：將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5.

第一次摸球時有5種等可能的結(jié)果，對應(yīng)第一次摸球的每個可能結(jié)果，第二次摸球時都有4種等可能結(jié)果。

將兩次摸球的結(jié)果配對，組成20種等可能結(jié)果。用10.1-2表示。

（1）第一次摸到紅球的可能結(jié)果有8種（表中第1，2行），

即A=｛（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5）｝

（2）第二次摸到紅球的可能結(jié)果有8種（表中第1，2列），

即B=｛（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2）｝

（3）事件AB包含2個可能結(jié)果，

即AB=｛（1，2）,（2，1）｝

例4、從兩名男生（記為B1和B2）、兩名女生（記為G1和G2）中任意抽取兩人。

（1）分別寫出有放回簡單隨機(jī)抽樣、不放回簡單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間。

（2）在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率。

解：設(shè)第一次抽取的人記為x1,第二次抽取的人即為x2,則可用數(shù)組（x1,x2）表示樣本點。

（1）根據(jù)相應(yīng)的抽樣方法可知：

有放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間為

Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}

不放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間為

Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}

按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間 Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2}

（2）設(shè)事件A=“抽到兩名男生”，則

對于有放回簡單隨機(jī)抽樣A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}

因為抽中樣本空間Ω1中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型。

對于不放回簡單隨機(jī)抽樣，A={(B1,B2),(B2,B1)}

因為抽中樣本空間Ω2中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型。

因為按性別等比例分層抽樣，不可能抽到兩名男生，所以A=Φ因此P(A)=0.

思考九：通過例4，對于不同的抽樣方法有什么區(qū)別？

例4表明，同一個事件A=“抽到兩名男生”發(fā)生的概率，在按性別等比例分層抽樣時最小，在不放回簡單隨機(jī)抽樣時次之，在有放回簡單隨機(jī)抽樣時最大。

因此，抽樣方法不同，則樣本空間不同，某個事件發(fā)生的概率也可能不同。

歸納總結(jié)

求解古典概型問題的一般思路：

(1)確定等可能樣本點總數(shù)n；

(2)確定所求事件包含的樣本點數(shù)m；

(3)P(A)＝m/n

2．使用古典概型概率公式的注意點

(1)首先確定是否為古典概型；

(2)A事件是什么，包含的樣本點有哪些．

3.樣本點的兩個探求方法

(1)列舉法：把試驗的全部結(jié)果一一列舉出來．此方法適合于較為簡單的試驗問題．

(2)樹狀圖法：樹狀圖法是使用樹狀的圖形把樣本點列舉出來的一種方法，樹狀圖法便于分析樣本點間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對于較復(fù)雜的問題，可以作為一種分析問題的主要手段，樹狀圖法適用于較復(fù)雜的試驗的題目．

小試牛刀

一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5個紅球和3個黃球，從中一次摸出兩個球。

⑴問共有多少個基本事件；

⑵求摸出兩個球都是紅球的概率；

⑶求摸出的兩個球都是黃球的概率；

⑷求摸出的兩個球一紅一黃的概率.

解：（1）分別對紅球編號為1、2、3、4、5號，對黃球編號為6、7、8號，從中任取兩球，有如下等可能基本事件：

共有28個等可能事件。

新知探究（二）——概率的基本性質(zhì)

思考十：從以下試驗?zāi)惆l(fā)現(xiàn)概率具有哪些特點？

試驗1：一個星期有7天；

試驗2：4月份有31天；

試驗3：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的事件。

由以上試驗可知：

任何事件的概率都是非負(fù)的；

在每次試驗中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會發(fā)生。

那么，我們可以得到概率具有以下2個性質(zhì)：

概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1 對任意的事件A，都有 P(A)≥0;

(概率的非負(fù)性)

性質(zhì)2 必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，（即P(Ω)=1，P(Φ)=0）

思考十一：一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標(biāo)號為1和2），2個綠色球（標(biāo)號為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球。設(shè)事件R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”互斥，RUG=“兩次摸到的球顏色相同”。那么。事件R、G、RUG的概率是多少呢？

思考十二：事件R與G有什么關(guān)系？它們的概率又有怎樣的關(guān)系？

事件R與事件G互斥，

即R與G不含有相同的樣本點，

所以n（RUG）=n(R)+n(G),這等價于P（RUG）=P(R)+P(G)，

即兩個互斥事件的和事件的概率等于這兩個事件概率之和。

所以我們有互斥事件的概率加法公式。

那么，我們可以得到概率具有以下2個性質(zhì)：

概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)3 如果事件A與事件B互斥，

那么P（AUB）=P(A)+P(B)

思考十三：互斥事件的概率加法公式可以推廣到多個事件嗎？

如果事件A1，A2，A3，...,Am兩兩互斥，

那么事件A1UA2UA3U...UAm發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，

即P(A1UA2UA3U...UAm)=P(A1)+P(A2)+...+P(Am)

思考十四：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A=“正面朝上為偶數(shù)”，B=“正面朝上為奇數(shù)”，事件A與事件B是什么關(guān)系？它們的概率有什么關(guān)系？

事件A和事件B互為對立事件，

所以和事件AUB為必然事件，即P(AUB)=1。

由性質(zhì)3得 1=P(AUB)=P(A)+P(B).

思考十四：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A=“正面朝上為偶數(shù)”，B=“正面朝上為奇數(shù)”，事件A與事件B是什么關(guān)系？它們的概率有什么關(guān)系？

事件A和事件B互為對立事件，

所以和事件AUB為必然事件，即P(AUB)=1。

由性質(zhì)3得 1=P(AUB)=P(A)+P(B).

思考十五：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A=“正面朝上為偶數(shù)”，B=“正面朝上為2”，事件A與事件B是什么關(guān)系？它們的概率有什么關(guān)系？

那么，我們可以得到概率具有以下1個性質(zhì)：

概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)5 如果事件A B，那么P（A）≤P(B)。

由性質(zhì)5可得：對于任意事件A，因為Φ A Ω, 所以0≤P(A)≤1.

思考十六：一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標(biāo)號為1和2），2個綠色球（標(biāo)號為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球?！眱蓚€球中有紅球”=R1UR2，那么P(R1UR2)和P(R1)+P(R2)相等嗎？如果不相等，請說明原因，并思考如何計算P(R1UR2)。

因為n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1UR2)=10,所以P(R1)=P(R2)=0.5，P(R1UR2)=0.12.

因此P(R1UR2)≠P(R1)+P(R2)。

這是因為R1∩R2={（1，2），（2，1）}≠Φ，

即事件R1、R2不是互斥的。

易得：P(R1UR2)=P(R1)+P(R2)-P(R1∩R2).

那么，我們可以得到概率具有以下1個性質(zhì)：

概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)6 設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

顯然，性質(zhì)3是性質(zhì)6的特殊情況。

歸納總結(jié)——概率的基本性質(zhì)

例5、從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=1/4，那么

(1)C=“抽到紅花色”，求P(C);

(2)D=“抽到黑花色”，求P(D)。

解：(1)因為C=AUB，且A與B不會同時發(fā)生，

所以A與B是互斥事件。

則P(C)=P(A)+P(B)=1/4+1/4=1/2.

(2)因為C與D互斥，又因為CUD是必然事件，

所以C與D互為對立事件.

則P(D)=1-P(C)=1-1/2=1/2.

例6、為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料。若從一箱中隨機(jī)抽取2罐，能中獎的概率為多少？

我們借助樹狀圖（圖10.1-11）來求相應(yīng)事件的樣本點數(shù)。

小試牛刀

1、某同學(xué)軍訓(xùn)時打靶一次擊中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別是0.3、0.3、0.3，那么他射擊一次不夠8環(huán)的概率是

解：設(shè)擊中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的事件分別是A、B、C，不夠8環(huán)的事件為D，

則事件A、B、C兩兩互斥，

則P(D)=1-P(AUBUC)=1-P(A)-P(B)-P(C)

=1-0.3-0.3-0.2=0.2

2、同時拋擲兩枚色子，既不出現(xiàn)5點也不出現(xiàn)6點的概率為4/9,則5點或6點至少出現(xiàn)一個的概率是

解：設(shè)既不出現(xiàn)5點也不出現(xiàn)6點為事件A，5點或6點至少有一個為事件B，則P（A）=4/9,

因為A∩B=Φ,所以A與B是對立事件，

則P(B)=1-P(A)=1-4/9=5/9

故 5點或6點至少有一個的概率為5/9.

3、在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分以上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51，在70~79的概率是0.15，在60~69的概率是0.09，60分以下的概率是0.07，計算下列事件的概率：

（1）小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績的概率；

（2）小明考試及格的概率.

解：分別記小明成績”在90分以上““在80~89分”“在70~79分”“在60~69分”“60分以下”為事件B、C、D、E、A，這五個事件彼此互斥。

（1）小明的成績在80分以上的概率是

P(BUC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69

（2）方法一：小明考試及格的概率是

P(BUCUDUE)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.19=0.93.

方法二：小明考試不及格的概率是0.07，小明考試不及格和考試及格互為對立事件

所以小明考試及格的概率是P(A)=1-0.07=0.93.

學(xué)生根據(jù)上述問題，探究古典概型的定義。

學(xué)生分組合作，探究得出古典概型的可能性大小的計算。

學(xué)生通過例題加強(qiáng)理解古典概型。

設(shè)置一連串的思考題，讓學(xué)生對古典概型及其概率計算進(jìn)一步進(jìn)行探索。

通過一連串的思考題，探索概率的6個基本性質(zhì)。

總結(jié)、鞏固概率的基本性質(zhì)。

學(xué)生和教師一起探究完成例題。

學(xué)生完成3個練習(xí)題，加深學(xué)生對概率的基本性質(zhì)的理解。

利用問題情境探究得出古典概型的定義,培養(yǎng)學(xué)生探索的精神。

通過分組合作交流，培養(yǎng)學(xué)生合作的精神和探索的能力。

利用例題更進(jìn)一步的理解鞏固本節(jié)課的內(nèi)容。

利用思考題讓學(xué)生繼續(xù)探究古典概型，讓學(xué)生形成知識體系，培養(yǎng)學(xué)生整體思考的能力。

通過這6個思考題，培養(yǎng)學(xué)生探索知識的能力，提高學(xué)生分析問題的能力。

培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)知識的能力。

通過例題，加深學(xué)生對概率的基本性質(zhì)的理解。

理論聯(lián)系實際，無論是哪部分知識點，都是來源于生活的實際問題，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活。